Testowanie hipotez statystycznych

Matematyka (B2) · Ekoenergetyka · dr Agnieszka Łacka · KMMiS

H₀ jako dopełnienie H₁ — jak zapisywać hipotezy przy nierównościach

H₀ i H₁ muszą być dopełnieniem — razem pokrywają wszystkie możliwe wartości parametru. Przy teście jednostronnym H₀ przyjmuje formę nierówności (≤ lub ≥), a H₁ — ścisłej nierówności.

Dlaczego H₀ zawiera równość (≤ lub ≥), a nie ścisłą nierówność?
Statystykę testową obliczamy dla wartości granicznej μ₀ — to jedyna konkretna liczba, dla której możemy wyznaczyć rozkład t lub U. Obszar krytyczny wyznaczamy przy założeniu, że μ = μ₀ (punkt graniczny H₀). Jeśli odrzucimy H₀ przy μ = μ₀, to tym bardziej odrzucamy ją dla μ < μ₀ (test prawostronny). Dlatego zapis H₀: μ ≤ μ₀ jest poprawny — obliczenia prowadzimy dla granicy, czyli μ = μ₀.

test prawostronny

H₀: μ ≤ μ₀
H₁: μ > μ₀

test lewostronny

H₀: μ ≥ μ₀
H₁: μ < μ₀

test dwustronny

H₀: μ = μ₀
H₁: μ ≠ μ₀

Wartości krytyczne z tablic (t-Studenta i N(0,1))

Tablica 4 dr Łackiej — konwencja zapisu obszarów krytycznych z ćwiczeń 11 (str. 2):
• Test dwustronny: obszar |t| > t_{α; n-1} → odczyt z kolumny α
• Test jednostronny: obszar t > t_{2α; n-1} → odczyt z kolumny 2α
Np. α=0,05 jednostronny → kolumna 0,10; α=0,01 jednostronny → kolumna 0,02.

df (n−1)	Test jednostronny — kolumna 2α			Test dwustronny — kolumna α
df (n−1)	α = 0,10 kol. 0,20	α = 0,05 kol. 0,10	α = 0,01 kol. 0,02	α = 0,05 kol. 0,05	α = 0,01 kol. 0,01
N(0,1) — U (df → ∞)	0,842	1,282	2,054	1,645	2,326
4	0,941	1,533	2,999	2,132	3,747
5 (zad.5,6)	0,920	1,476	2,764	2,015	3,365
7 (zad.2)	0,889	1,415	2,517	1,895	2,998
8 (zad.1,3,6)	0,889	1,397	2,449	1,860	2,896
9 (zad.4)	0,883	1,383	2,398	1,833	2,821
11 (zad.1a,1b)	0,876	1,363	2,328	1,796	2,718
14 (zad.5 df=8)	0,868	1,345	2,264	1,761	2,624
20	0,860	1,325	2,197	1,725	2,528
29 (zad.7)	0,854	1,311	2,150	1,699	2,462
∞ → N(0,1)	0,842	1,282	2,054	1,645	2,326

⚠ Kluczowa różnica: jednostronny α=0,01 → kolumna 0,02 (wartość t_{0,02; n-1}); dwustronny α=0,01 → kolumna 0,01 (wartość t_{0,01; n-1}). Wartość krytyczna dla jednostronnego jest mniejsza niż dla dwustronnego przy tym samym α.

Test prawostronny — H₁: μ > μ₀

H₀: μ ≤ μ₀
H₁: μ > μ₀

H₀ i H₁ są dopełnieniem. Statystykę obliczamy dla granicy μ = μ₀. Obszar krytyczny leży po prawej stronie rozkładu.

Obszar krytyczny:
t > t_{2α; n−1}

Kolumna w tablicy = 2α. Np. α=0,01, df=7 (zad. 2): kol. 0,02 → t = 2,998

Odrzucamy H₀ tylko gdy statystyka jest wystarczająco duża (leży w prawym ogonie). Wartość krytyczna dla testu jednostronnego jest mniejsza niż dla dwustronnego przy tym samym α — łatwiej odrzucić H₀, bo cały obszar α skupia się po jednej stronie.

Wzorcowy wniosek (odrzucenie H₀):
Wartość statystyki testowej t = [wartość] należy do obszaru krytycznego (t > t_{2α; n−1} = [wartość krytyczna]), stąd na poziomie istotności α = [α] odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej. Stwierdzamy zatem, że [cecha] jest istotnie większa niż [μ₀].

Przykład (ćw. zad. 2 — ekogroszek, α = 0,01, n = 8, df = 7):
H₀: μ ≤ 7% (zawartość popiołu) H₁: μ > 7%
σ nieznane → statystyka t. Kolumna 2α = 0,02, df = 7: t_{0,02; 7} = 2,998
Obszar krytyczny: t > 2,998
x̄ = 7,2875, ŝ² ≈ 0,402 → t = (7,2875 − 7) / (√0,402/√8) ≈ 1,28
t = 1,28 < 2,998 → wartość nie należy do obszaru krytycznego → brak podstaw do odrzucenia H₀.

Test lewostronny — H₁: μ < μ₀

H₀: μ ≥ μ₀
H₁: μ < μ₀

H₀ i H₁ są dopełnieniem. Statystykę obliczamy dla granicy μ = μ₀. Obszar krytyczny leży po lewej stronie rozkładu.

Obszar krytyczny:
t < −t_{2α; n−1}

Kolumna w tablicy = 2α. Np. α=0,01, σ znane (zad. 7): kol. 0,02 → u_0,02 = 2,054

Odrzucamy H₀ gdy statystyka jest wystarczająco ujemna. Obszar krytyczny: t < −t_{2α; n−1} — wartość krytyczna z kolumny 2α tablicy.

Wzorcowy wniosek (odrzucenie H₀):
Wartość statystyki testowej t = [wartość] należy do obszaru krytycznego (t < −t_{2α; n−1} = −[wartość krytyczna]), stąd na poziomie istotności α = [α] odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej. Stwierdzamy zatem, że [cecha] jest istotnie mniejsza niż [μ₀].

Przykład (ćw. zad. 7 — biomasa wierzby, α = 0,01, n = 30, σ = 1 znane):
H₀: μ ≥ 12,5 t/ha H₁: μ < 12,5 t/ha
σ znane → statystyka U. Kolumna 2α = 0,02, df → ∞: u_0,02 = 2,054
Obszar krytyczny: U < −2,054
x̄ = 12: U = (12 − 12,5) / (1/√30) ≈ −2,739
U = −2,739 < −2,054 → wartość należy do obszaru krytycznego.
„Stwierdzamy, że przeciętna biomasa jest istotnie mniejsza niż 12,5 t/ha."

Test dwustronny — H₁: μ ≠ μ₀

H₀: μ = μ₀
H₁: μ ≠ μ₀

Dopełnieniem „≠" jest „=". Obszary krytyczne leżą po obu stronach rozkładu — odchylenie w dowolnym kierunku prowadzi do odrzucenia H₀.

Obszar krytyczny:
|t| > t_{α; n−1}

Kolumna w tablicy = α. Np. α=0,05, df=9 (zad. 4): kol. 0,05 → t = 2,262

Dla testu dwustronnego kolumna w tablicy = α. Np. α=0,05, df=9 (zad. 4): kol. 0,05 → t_{0,05; 9} = 2,262. Wartość krytyczna jest większa niż dla testu jednostronnego przy tym samym α — bo obszar α podzielony na dwa ogony, każdy ogon zawiera tylko α/2.

Wzorcowy wniosek (odrzucenie H₀):
Wartość statystyki testowej |t| = [wartość] należy do obszaru krytycznego (|t| > t_{α; n−1} = [wartość krytyczna]), stąd na poziomie istotności α = [α] odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej. Stwierdzamy zatem, że [cecha] różni się istotnie od [μ₀].

Przykład (ćw. zad. 4 — prędkość wiatru, α = 0,05, n = 10, df = 9):
H₀: μ = 4,2 m/s H₁: μ ≠ 4,2 m/s
t = 2,69, wartość krytyczna (dwustronna): t_{0,05; 9} = 2,262
|t| = 2,69 > 2,262 → obszar krytyczny.
„Stwierdzamy, że przeciętna prędkość wiatru różni się istotnie od 4,2 m/s."

Podejmując decyzję na podstawie próby nigdy nie mamy pełnej informacji o populacji — zawsze istnieje ryzyko błędu.

	H₀ jest prawdziwa	H₀ jest fałszywa
Nie odrzucamy H₀	✓ Poprawna decyzja prawdop. = 1 − α	βBłąd II rodzaju przeoczenie efektu
Odrzucamy H₀	αBłąd I rodzaju fałszywy alarm	✓ Poprawna decyzja moc testu = 1 − β

αBłąd I rodzaju

Odrzucamy H₀, gdy jest prawdziwa. To „fałszywy alarm".
Prawdopodobieństwo = α (poziom istotności).

Przykład (elektrownia wodna): uznajemy, że gatunek chroniony nie występuje, choć w rzeczywistości występuje.

βBłąd II rodzaju

Nie odrzucamy H₀, gdy jest fałszywa. To „przeoczenie efektu".
Prawdopodobieństwo = β.

Przykład (elektrownia wodna): uznajemy, że gatunek chroniony występuje, choć w rzeczywistości nie ma go w rzece.

Zmniejszenie α zwiększa β i odwrotnie — jednoczesna minimalizacja obu błędów nie jest możliwa. Dlatego testy budujemy minimalizując β przy ustalonym α (test najmocniejszy).

Poziom istotności — interaktywna demonstracja

Poziom istotności α to prawdopodobieństwo błędu I rodzaju — maksymalne ryzyko fałszywego alarmu, które akceptujemy.

α = 0,05

αRyzyko błędu I rodzaju

fałszywy alarm

βRyzyko błędu II rodzaju

~40%

przeoczenie efektu

Zwykle przyjmuje się α = 0,05 lub α = 0,01. W przykładzie z elektrownią wodną wybór α zależy od konsekwencji błędów — α = 0,001 gdy błąd I rodzaju jest katastrofalny.

Generator kompletnego wniosku

Wypełnij pola, a generator sformułuje pełny wniosek zgodny ze wzorcem dr Łackiej.

Typ testu (kierunek H₁)

Poziom istotności α

Wartość statystyki testowej (obliczona)

Wartość krytyczna (z tablic)

Badana cecha / parametr (np. „żywotność żarówek")

Wartość μ₀ z hipotezy zerowej (np. „4,2 m/s")

Statystyka testowa (symbol: t lub U)

Stopnie swobody / n (dla t: n−1, dla U: n)

Decyzja i kompletny wniosek:

Warunek obszaru krytycznego:

Przypomnienie — kolumna w Tablicy 4:
Test jednostronny (H₁: > lub <): kolumna = 2α | Test dwustronny (H₁: ≠): kolumna = α
Przykłady: jednostronny α=0,05 → kol. 0,10 | jednostronny α=0,01 → kol. 0,02 | dwustronny α=0,05 → kol. 0,05